Contracciones y Programación Dinámica

La clave técnica de los resultados de la Tesis es la utilización del sencillo y famoso Teorema del Punto Fijo de Banach, que a su vez se basa en la noción de mapeo contractivo. El gran poder de este método para establecer resultados de estabilidad en Procesos Markovianos de Decisión y en Difusiones controlados radica a sus vez en la compatibilidad entre Programación Dinámica y los mapeos contractivos.

Para aclarar esta relación, la Tesis incluye como segundo capítulo una presentación concisa del mapeo fundamental en Programación Dinámica que es una contracción en diversos contextos. No es sorprendente que este capítulo este apoyado en el clásico trabajo de Denardo: Contraction Mappings in the Theory Underlying Dynamic Programming, SIAM Review, Vol. 9, No. 2. (Apr., 1967), pp. 165-177, también disponible en JSTOR

Por cierto, aunque no faltan referencias para el Teorema del Punto Fijo de Banach, y por dicha razón no se incluye ni siquiera su enunciado en la Tesis, no está demás, en este Blog, de referir al verbete Banach fixed point theorem donde no sólo se encuentra la demostración y una buena bibliografía, sino también esta valiosa liga al artículo original:  Banach, S. "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales." Fund. Math. 3(1922), 133–181.[1] En ese artículo queda claro que Banach tenía un ojo puesto en las aplicaciones, en este caso, a las Ecuaciones Integrales. De hecho, vale la pena recordar que el Teorema tiene célebres aplicaciones a los Teoremas de la Función Implícita y la Función Inversa, el Método de Newton y el Teorema de Picard-Lindelöf  (que esta muy relacionado con la demostración de robustez en el caso de Procesos controlados que obedecen a una ecuación diferencial, tal como se incluye en la Tesis).

Dada la abundancia de textos que contienen el Teorema del Punto Fijo, mencionamos sólo una que tiene interés por su enfoque riguroso pero aplicado: Real Analysis with Economic Applications, de Efe A. Ok, Princeton University Press.